Traducción: A.González

Escalas Trigonométricas

Para una tutoría sobre las escalas hiperbólicas lea esto.
Para una discusión sobre ángulos en Grados, Minutos y Segundos, lea esto.
Para una discusión sobre las escalas P y P2, lea esto.

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Introducción

La regla de cálculo es un dispositivo fantástico para obtener un entendimiento más profundo de la trigonometría, ya que hay demasiadas funciones trigonométricas como para incluir cada una como una escalas independiente, y de las funciones representadas sólo una parte de sus dominios aparecen en las escalas. A lo largo de los siglos del diseño de reglas de cálculo, toda la información ha sido condensada en el mínimo absoluto requerido para encontrar las aproximaciones decimales correctas de dichas funciones. Sin un conocimiento de qué significan las funciones trigonométricas, y de las identidades utilizadas para manipularlas, obtener un resultado correcto no siempre será fácil.

Las escalas trigonométricas contienen ángulos en grados desde alrededor de 0,5º hasta 90º (85.5º para las tangentes). El ángulo se encuentra en la escala trigonométrica, y el valor se lee en las escalas C/CI o D/DI (como siempre dependiendo de la configuración del cuerpo y la reglilla), y se ajusta por un factor de diez. Las escalas vienen en dos variedades - S y T, S para Senos/Cosenos, y T para Tangentes/Cotangentes. Ambos tipos de escalas tienen una variación para ángulos grandes y otra para ángulos pequeños, para cubrir un rango mayor.

Ángulos en Radianes

No hay escalas con ángulos en radianes. La conversión entre grados y radianes se consigue multiplicando o dividiendo por la Constante de conversión Grados a Radianes, (pi/180), que aparece como la letra griega Delta minúscula, alrededor del 1,7 en C. Es 100 veces demasiado grande, por lo que tendrá que ajustar su resultado por un factor de 100.

Ángulos entre 0º y 0,5º

Las escalas no tienen ángulos pequeños hasta cero, debido a la naturaleza de las escalas C/D. Por lo tanto, para ángulos entre 0º y 0,5º, se utilizan aproximaciones. Cuando hablamos de ángulos de 0,5º o menos, el seno o la tangente del ángulo en radianes es justamente el ángulo mismo (con más de 7 decimales!), y el coseno del ángulo en radianes es prácticamente uno, con 5 decimales o más. Estas aproximaciones no se sustentan para ángulos en grados, sólo en radianes, por lo que será necesario un paso adicional de conversión si se requieren ángulos en grados.

Entonces, ¿porqué no construir escalas logarítmicas cuyos valores se lean en la escala L (que va de 0 a 1), y que cubra el primer cuadrante entero con una sola escala? El propósito de la estructura actual es facilitar los cálculos encadenados, no sólo para buscar los valores individuales de senos y cosenos; y se obtiene mayor velocidad y precisión si una multiplicación o división puede ser hecha inmediatamente, en lugar de recordar el número y transferirlo a la escala C para continuar operando.

Ángulos fuera del primer cuadrante

Para ángulos mayores de 90º o menores que cero, se emplean las identidades de traslación y simetría apropiadas, que pueden involucrar sumar o restar múltiplos de 90, que debe hacerse mentalmente. Hay muchas identidades trigonométricas, y más de una forma de escribir cada una de ellas. Sería posible condensar las identidades relevantes en una única fórmula para mover cualquier combinación función/ángulo al primer cuadrante y que la regla la pueda gestionar, pero sería muy esotérica para el alcance de esta tutoría, ejecutar operaciones algebraicas en nombres de funciones así como ángulos. En su lugar, aquí hay una lista incompleta de identidades que puede encontrar útiles para ángulos que no se encuentran en la regla de cálculo:

sin(-x)= -sin(x)
cos(-x) = cos(x)
tan(-x) = -tan(x)

sin(x) = cos(90-x)
cos(x) = sin(90-x)
tan(x) = cot(90-x)

sin(x) = -sin(x-180)
cos(x) = -cos(x-180)
tan(x) = tan(x-180)

sin(x) = -cos(x-270)
cos(x) = sin(x-270)
tan(x) = -cot(x-270)

Qué pasa con cosenos, cotangentes, secantes y cosecantes?

Por los nombres de las escalas puede parecer que sólo se dispone de las funciones Seno y Tangente, pero no es el caso. Ambos juegos de escalas son escalas dobles, con dos conjuntos de ángulos impresos en cada una, de forma que Cosenos y Cotangentes se leen espalda a espalda con Senos y Tangentes. Esto y la utilización de las escalas CI/DI, completan la lista, ya que proporcionan las Secantes y Cosecantes.

Funciones Inversas

Como en toda operación de regla de cálculo, siempre están disponibles la finción y su inversa, simplemente leyendo en el otro sentido. Por tanto, los valores del Arco seno se pueden fijar en C y sus correspondientes ángulos (ajustados por su correspondiente factor de diez) se leen en S.

Instrucciones

Utilizaremos una configuración con las trigonométricas en la reglilla, y las escalas C/CI como sus contrapartidas. Si sus trigonométricas están en el cuerpo, utilice entonces D/DI como contrapartidas.

También utilizaremos S2 y T2 en lugar de la escala ST, pero si su regla tiene la escala ST, puede utilizarla tanto en lugar de S2 como en lugar de T2, con muy pequeñas inexactitudes.

Todas las escalas trigonométricas tienen un doble juego de números. Por escalas "directas" entendemos las de números que se incrementan hacia la derecha, y escalas "inversas" son aquellas en que los números aumentan hacia la izquierda.

Estas instrucciones aplican de igual forma a escalas GMS y de grados decimales.

En todos los casos asumimos que el ángulo x está entre 0º y 90º. Si cae fuera de este rango, tendrá que utilizar alguna de las identidades para crear la expresión equivalente, como sin(110º) = cos(90º-110º) = cos(-20º) = cos(20º);

y = sin x

  • encontrar x en S o en escalas directas de S2, poner cursor
  • leer y en C bajo el cursor.
  • dividir y por 10 si está en S, y por 100 si está en S2

y = csc x

  • encontrar x en S o en escalas directas de S2, poner cursor
  • leer y en CI bajo el cursor.
  • multiplicar y por 10 si está en S2

y = arcsin x

  • poner cursor en mantisa de x en C
  • si x está entre 0,1 y 1, usar S
  • si x está entre 0,01 y 0,1, usar S2
  • resultado bajo el cursor en S o en escalas directas de S2.

y = arccsc x

  • poner cursor en mantisa de x en CI
  • si x está entre 1 y 10, usar S
  • si x está entre 10 y 100, usar S2
  • resultado bajo el cursor en S o en escalas directas de S2.

y = cos x

  • buscar x en S o escalas inversas de S2, poner cursor
  • leer y en C bajo el cursor.
  • dividir y por 10 si está en S, y por 100 si está en S2

y = sec x

  • buscar x en S o escalas inversas de S2, poner cursor
  • leer y en CI bajo el cursor.
  • multiplicar y por 10 si está en S2

y = arccos x

  • poner cursor en mantisa de x en C
  • si x está entre 0,1 y 1, usar S
  • si x está entre 0,01 y 0,1, usar S2
  • resultado bajo el cursor en S o escalas inversas de S2.

y = arcsec x

  • poner cursor en mantisa de x en CI
  • si x está entre 1 y 10, usar S
  • si x está entre 10 y 100, usar S2
  • resultado bajo el cursor en S o escalas inversas de S2.

y = tan x

  • x está en las escalas directa o inversa de T o T2. Encuéntrelo y ponga el cursor.
  • si x < = 45º, leer y en C
  • dividir y por 10 si está en T, y por 100 si está en T2
  • si x > 45º leer y en CI
  • multiplicar y por 10 si está en T2

y = cot x

  • x está en las escalas directa o inversa de T o T2. Encuéntrelo y ponga el cursor.
  • si x < = 45º, leer y en CI
  • multiplicar y por 10 si está en T2
  • si x > 45º leer y en C
  • dividir y por 10 si está en T, y por 100 si está en T2

y = arctan x

  • si x < 1, poner cursor en mantisa de x en C
    • si x < 0.1, y está bajo el cursor en escala directa de T2
    • en caso contrario y está bajo el cursor en escala directa de T
  • si x > 1 poner cursor en mantisa de x en CI
    • si x < 10, y está bajo el cursor en escala inversa de T
    • en caso contrario y está bajo el cursor en escala inversa de T2

y = arccot x

  • si x < 1, poner cursor en mantisa de x en C
    • si x < 0.1, y está bajo el cursor en escala inversa de T2
    • en caso contrario y está bajo el cursor en escala inversa de T
  • si x > 1 poner cursor en mantisa de x en CI
    • si x < 10, y está bajo el cursor en escala directa de T
    • en caso contrario y está bajo el cursor en escala directa de T2

Estas son muchas reglas para memorizar. Afortunadamente todas están haciendo lo mismo, excepto que cosecante, secante y cotangente son las recíprocas de seno, coseno y tangente, por lo que se utiliza la escala CI. Las funciones "arco" son las funciones inversas, y los pasos van en sentido contrario. Si se familiariza con encontrar senos y tangentes en la regla, podrá derivar todas las otras instrucciones de las definiciones de las funciones y de las relaciones aprendidas en trigonometría.

Ejemplos

sin 20º
20º está en la escala S (escala directa para senos) Poner el cursor.
leer 3,42 en C
utilizamos S, por lo tanto dividir por 10: resulta 0,342
sin -4,2º
-4,2º no está entre 0 y 90. Convertir mediante identidades:
sin(-x) = -sin(x). Entonces podemos trabajar con 4.2º y negar el resultado.
4.2º está en la escala S2 (escala directa) Poner el cursor.
leer 7,324 en C
utilizamos S2, por lo tanto dividir entre 100: resulta 0,07324
negar el resultado como se decidió más arriba: -0,07324
sin 0,0065º
0,0065º es demasiado pequeño para la escala S2. Usar la aproximación para senos de ángulos pequeños:
p.ej.: Convertir a radianes y asumir que será el resultado:
multiplicar 6,5 por la Constante Delta (de conversión grados a radianes), se obtiene 1,1345
ajustar la posición decimal: *0,01 por definición de la Constante, * 0,001 por el ángulo, *10 porque cambiamos de magnitud al usar el índice derecho,
resultado 1,1345E-4. (-2-3+1=-4)
cos 212º
utilizar una identidad para crear la expresión equivalente entre 0º y 90º:
cos 212º = -cos (212º-180º) = -cos 32º
por lo tanto podemos trabajar con cos 32º y negar el resultado.
32º está en la escala S (utilizando escala inversa para cosenos) Poner el cursor.
leer 8,480 en C, dividir entre 10 por haber utilizado la escala S: 0,8480.
resultado final es -0,8480 después de la negación.
tan 30º
30º está en T, y es menor de 45º,
por lo tanto leemos la respuesta en C y dividimos entre 10.
resulta 0,5774
tan 60º
60º está en T, y es mayor que 45º,
por lo tanto leemos la respuesta en CI, no se requiere ajuste.
resulta 1,732
arcsin 0,53
0,53 está entre 0,1 y 1 , entonces usamos S.
poner cursor en 0,53 C, buscar el resultado 32,005º en escala directa de S.
arctan 76,0
76 > 1, entonces ponemos cursor en 7,6 de CI
76 > 10, entonces buscamos el resultado en escala inversa de T2
resultado es 89,246º