Traducción: A.González

Exponenciación y Logaritmos con las escalas LL

Estas instrucciones cubren:

  1. Exponenciación
  2. Logaritmos

Introducción

Si ya ha leído la tutoría de la escala L, sabrá que puede hallar cualquier logaritmo o exponente con sólo las escalas L y C. El problema con el método de la escala L es que requiere múltiples pasos y tiene que deducir la posición decimal. Las escalas LL le permiten también encontrar logaritmos y exponentes, pero con la posición decimal correcta en un simple procedimiento parecido a una multiplicación.

El precio de la conveniencia es la pérdida de generalidad. Sólo puede trabajar con exponentes que estén en las escalas LL, por lo que hay una cantidad de escalas LL para compensar. 3 pueden ser suficientes como en la Griffenfly Darmstadt, o incluir 8 o aun 10.

Tenernos 18 diferentes escalas LL, pero esto no significa que haya algo diferente que aprender de cada una de ellas. Son como las escalas de raíces cúbicas Q1,Q2 y Q3 - todas son la misma escala pero partida en varios trozos para que quepa en el cuerpo de la regla. Y parte de las razones para la gran profusión es que hay dos tipos: las que son en base e en relación a C, (LL..E) y las que son en base 10 (LL..X). Lo que es más, la mitad de ellas son las recíprocas de la otra mitad, para mayor conveniencia.

Lo lógico es elegir incluir un juego de escalas LL en base e o un juego en base 10, pero no ambos. No importa cuáles utilice, ambos juegos hacen lo mismo. La base es irrelevante para los logaritmos y las potencias. La diferencia principal es que las de base 10 tienen un rango más amplio, pero las de base e proporcionan mayor precisión.

De la misma forma, puede elegir incluir como complemento las escalas recíprocas LL0, o no. Éstas le facilitarán la tarea cuando tenga que calcular exponentes fraccionarios o negativos, pero no son estrictamente necesarias.

Nomenclatura

Los nombres de las escalas LL son históricos, y confusos cuando menos. Afortunadamente no debe preocuparse por los nombres, sino si moverse una escala arriba o abajo.

base e
potencias positivas de e potencias negativas de e (recíprocas)
LL0_E 1.001 .. 1.01LL00_E 0.999 .. 0.99
LL1_E 1.01 .. 1.1LL01_E 0.99 .. 0.90
LL2_E 1.1 .. 2.7LL02_E 0.90 .. 0.37
LL3_E 2.7 .. 22000LL03_E 0.37 .. 0.000045

base 10
potencias positivas de 10 potencias negativas de 10 (recíprocas)
LL0_X 1.00023 .. 1.0023LL00_X 0.99977 .. 0.9977
LL1_X 1.0023 .. 1.023LL01_X 0.9977 .. 0.977
LL2_X 1.023 .. 1.26LL02_X 0.977 .. 0.79
LL3_X 1.26 .. 10LL03_X 0.79 .. 0.1
LL4_X 10 .. 10 billionLL04_X 0.1 .. 1 ten billionth

Note que los sufijos _E y _X sólo aparecen en el panel del diseñador y en la documentación automática. El nombre de la escala que aparece en la regla no los incluye.

Por tanto, LL3_X y LL3_E aparecerán ambos como LL3.

Consideraciones de Diseño

Cuando decida qué escalas incluir, hay algunos hechos que debe considerar.

-Manténgalas en orden.
-No mezcle las bases.
-Asegúrese que están todas en los estatores, o todas en la reglilla.
-Si debe reducir el grupo, descarte primero LL0 y LL00, porque existe la siguiente aproximación:
 

que puede utilizarse para esos valores.

Entonces para 1,0005^5, simplemente multiplique 0,0005x5 y súmele el 1 al final: 1.0025. (pero no intente utilizar este método si la base no está muy próxima a 1!)
(Este reducción a una multiplicación es bastante obvia en la escala LL0_E.)
-Si puede aceptar pasarse calculando cantidad de recíprocos, descarte las escalas de potencias negativas.

Instrucciones

Si las instrucciones le piden poner 1C en 2LL, tendrá que encontrar la escala LL que tiene el 2,0. Si está utilizando escalas base 10, éste estará en LL3, y si está utilizando escalas base e estará en LL2. El nombre específico de la escala no importa, e intentaremos evitar utilizarlo lo más posible. Si las instrucciones le piden "subir una escala", esto significa encontrar un valor en la escala con un número mayor. Por ejemplo "subiendo" de la escala LL1 a la LL2. Subiendo desde LL02 sería LL03. De la misma forma para "bajar una escala". Si no puede subir o bajar una escala, no podrá encontrar el resultado utilizando las escalas LL.

Cuando se le pida "cambiar a la escala recíproca", significa moverse a la escala LL con el mismo número y que vaya en la dirección opuesta. LL3 -> LL03, LL01 -> LL1, etc.

En estas instrucciones utilizaremos fundamentalmente la escala C, con las escalas LL base e en el cuerpo. Si las instrucciones le piden poner 1C en 4,0 LL, podría también deslizar 4,0 LL hasta que estuviera sobre 1D (en caso de las LL en la reglilla). Todas las otras instrucciones son las mismas.

En todos los casos el número se lee directamente en la escala LL, no hay más requerimientos para fijar la posición decimal.

Exponenciación

Método 1: calcular y = z ^ x con las escalas recíprocas en el cuerpo:

  • Ponga 1C o 10C sobre z LL, lo que mantenga (la mantisa de) x C en escala.
  • si x no está en C, suba n escalas, donde n es el exponente de la notación científica de x.
  • si ha utilizado el índice 10C, suba una escala más.
  • si x es positivo, lea el resultado en x C en la escala LL en la que se encuentra ahora.
  • si x es negativo, lea el resultado en x C en la recíproca de la escala en la que se encuentra ahora.

Pero no todas las reglas tienen las escalas LL complementarias. Mire el reverso de la Griffenfly Darmstadt como ejemplo. Aun así todavía puede calcular las potencias, si recuerda que a^b y a^(-b) son recíprocos, de la misma forma que a^b y (1/a)^b. El siguiente método funciona, pero agrega más complejidad a los cálculos y reduce la precisión y la velocidad.

Método 2: calcular y = z ^ x sin escalas LL recíprocas:

  • si z > 1 y si x > 0 use el Método 1.
  • si z > 1 y si x < 0 use el Método 1 con |x|, y tome el recíproco del resultado.
  • si z < 1 y si x > 0 use el Método 1 con 1/z, y tome el recíproco del resultado.
  • si z < 1 y si x < 0 use el Método 1 con 1/z y con |x|.

( Note que con z < 1 queremos decir que z está entre 0 y 1. Los números negativos elevados a una potencia fraccionaria no están necesariamente en el dominio de los Reales, por ejemplo (-1)^(0.5) tiene dos respuestas en i y -i. Todo lo que puede hacer es utilizar el valor absoluto de z y recordar que sólo está obteniendo la magnitud, y no la dirección ni el número de respuestas. )

Ejemplos (mayormente utilizando el Método 1)

3^2
(este utiliza escalas base e)
encuentre el 3 en el grupo LL. Está cerca del extremo izquierdo de LL3.
ponga 1C en 3 LL3
2 se encuentra en C, por lo que nos mantenemos en LL3
usamos 1C, entonces nos mantenemos en LL3
lea resultado 9 en LL3 debajo de 2C
3^(0,2)
(usando escalas base e )
encuentre el 3 en el grupo LL. Está cerca del extremo izquierdo de LL3.
ponga 1C en 3 LL3
0,2 es 2E-1 entonces "subimos -1", es decir, bajamos una a LL2.
utilizamos 1C, entonces nos mantenemos en LL2
lea resultado 1,246 en LL3 debajo de 2C
2^10
(usando escalas base e )
encuentre 2 en el grupo LL. Está cerca del extremo derecho en LL2.
ponga el cursor allí, lea el resultado 1024 en LL3.

Este último ejemplo es un atajo. Los valores en una escala LL son los valores de la escala previa elevados a la 10. Esto es cierto sin importar si la base de las escalas es e o 10.

0.51 ^ 3.1 (usando escalas base e, incluyendo escalas recíprocas LL0. )
encuentre 0,51 en el grupo LL. Está cerca del extremo derecho de LL02
ponga 10C en 0,51 LL02 (vea que la escala va de derecha a izquierda)
3,1 está en C, por lo que nos mantenemos rn LL02
utilizamos 10C, entonces subimos una escala hasta LL03
lea el resultado 0,124 en LL03.
1.07 ^ -31,9 (usando escalas base e, incluyendo escalas recíprocas LL0.)
encuentre 1,07 en el grupo LL (en LL1), ponga 10C sobre él para mantener 3,19 C en escala.
-31,9 = -3,19E1, por lo que subimos a LL2
usamos 10 C entonces volvemos a subir a LL3
x es negativo, entonces saltamos a la escala recíproca LL03.
lea el resultado 0,1155 en LL03 debajo de 3,19C

El ejemplo de arriba sólo funciona porque la base está tan cerca de 1. No podríamos haber calculado 10,7^-31,9. En general, las bases grandes y grandes exponentes estarán fuera de las escalas LL, y tendrá que recurrir al método de exponenciación con la escala L. Después de haber trabajado con números de coma flotante en tantas otras técnicas de regla de cálculo, estará tentado de pensar que es sólo cambiar el factor de 10, pero no es ese el caso con las escalas LL.

0,05 ^ 2,5 ( usando escalas base 10 en la reglilla, sin escalas recíprocas )
Tendremos que utilizar el método 2, porque 0,05 < 1 y no tenemos escalas recíprocas LL.
z < 1 y x > 0, entonces usamos la tercera línea del Método 2
use las escalas D/DI para obtener el recíproco de 0,05 -> 20.
20 está en LL4 cerca del extremo izquierdo.
LL4 está ahora en la reglilla, entonces en lugar de poner 1C en 20 LL4, debemos poner 20 LL4 en 1D.
utilizamos 1D, entonces permanecemos en LL4
2,5 está en D, entonces permanecemos en LL4
lea 1789 en LL4, sobre 2,5 D
estamos utilizando la tercera línea del método 2, por lo que tomaremos el recíproco utilizando D,DI: 5,590E-4 0,0005590.

Este último ejemplo cubre todo lo que no hemos visto en ejemplos previos. Subir de escala en el cursor no es difícil, ni lo es usar las escalas base 10.Sin embargo calcular dos jugos de recíprocos hace las cosas tediosas e introduce errores debido a los pasos adicionales. (Nota: En el diagrama, esos pequeños "cursores de recíprocos" están simplemente dibujados, no son parte de la regla de cálculo) .

Calculando Logaritmos

Antes que mostremos el método para calcular logaritmos a cualquier potencia, debemos decir que los logaritmos base 10 o base e están siempre disponibles por búsqueda directa en las escalas LL a partir de la escalas C y D. Sin embargo los resultados deben ser modificados por el exponente que figura en la auto-documentación. Por ejemplo, si está usando escalas LL base e, para calcular Ln 0,8, encuéntrelo en la escala LL02, ponga el cursor allí y vea el resultado 2,2314 en C. Entonces lea la auto-documentación de LL02 (pasando el ratón sobre el nombre de la escala en el extremo derecho), y anote el exponente de e. Dice -x/10. Por lo que aplicamos eso a 2,2314 y obtenemos la respuesta correcta 0,22314.

( Esta es la funcionalidad que es extendida incluyendo las escalas CFM o CF/M . )

Método 1: calcular x = log(base z) y con escalas LL recíprocas en el cuerpo:

  • Ponga 1C o 10C sobre z LL, lo que mantenga (la mantisa de) y C en escala
  • El resultado inicial x está en C, en y de LL.
  • si utilizó 10C, reste 1 del exponente de la notación científica del resultado.
  • reste el número de y en LL del número de Z en LL. Aumente el exponente en este valor
  • si la escala de y va en sentido opuesto a la de z, negar x.

Método 2: calcular x = log(base z) y sin escalas LL recíprocas:

  • si z > 1 y si y > 1 use el Método 1.
  • si z > 1 y si y < 1 use el Método 1 con 1/y, y negar el resultado.
  • si z < 1 y si y > 1 use el Método 1 con 1/z, y negar el resultado..
  • si z < 1 y si y < 1 use el Método 1 con 1/y y con 1/z.

Ejemplos ( la mayoría usando escalas LL base 10 en el cuerpo, usando el método 1)

log(base 5) 500
ponga 10C sobre la base: 5, encontrado en LL3
ponga el cursor en 500, encontrado en LL4
lea 3,861 en escala C
utilizamos 10C, entonces divida por 10: 0,3681
LL4-LL3 = 1, por lo tanto eleve el exponente por 1: 3,681
LL3 y LL4 van ambas de izquierda a derecha, entonces mantenemos el resultado.
log(base 1.000.000) 0,9
ponga 10C sobre la base: 1M en LL4
ponga el cursor en 0,9 en LL02
lea 7,63 en C
utilizamos 10C, entonces divida por 10: 0,763
LL02 - LL4: 2-4 = -2, divida por 100: 0,00764
LL02 va en sentido opuesto a LL4, entonces negar el resultado: -0,00763, -7,63E-3.
log( base 0,5 ) 0,7 (usando escalas base e en el cuerpo, sin escalas recíprocas)
ambos números son menores que 1, por lo que podemos convertirlos en sus recíprocos y usar el método 1.
1/0,5= 2, 1/0,7 = 1,4286 (use las escalas D, DI)
encuentre log( base 2 ) 1,4286:
ponga 2 en LL2 sobre 10 D
lea 5,146 en D bajo 1,4286 LL2
utilizamos 10D, por tanto divida 10: 0,5146
no hemos cambiado de escala o dirección, entonces el resultado es correcto.